El Péndulo Simple

Hola, ingeniosos e ingeniosas. Durante esta clase entenderemos muy bien el péndulo simple, sus relaciones matemáticas, la física de un péndulo simple, la aplicación del movimiento armónico simple que entendimos en la clase anterior, en el video, por aquí te dejo el enlace de movimiento armónico simple. Esta es una aplicación del movimiento armónico simple en el péndulo simple. Resolveremos al final de la clase este problema donde hay una masa que oscila eh, y vamos a encontrar su periodo y la fuerza de tensión de la cuerda sobre ella. He traído para esta clase una un péndulo. Esto es un péndulo. ¿Qué es un péndulo? Pues tengo una cuerda que sujeta una masa en su extremo. Uno de los extremos de la cuerda está fijo. Y simplemente vamos a ubicar el péndulo. Vamos a hacerlo. Vamos a ponerlo por aquí de esta forma y él va a oscilar, es decir, va a tener un movimiento de va y ven, va, ven, va y viene. Lo voy a poner por aquí para que observes. va y viene, va y viene. Y ahí hay unas transformaciones de energía, energía potencial gravitacional porque tiene una altura y a medida que va bajando, bajando, bajando, bajando, va perdiendo altura y va ganando velocidad. Se va transformando la energía potencial gravitacional en energía cinnética. Va ganando velocidad y pasa por el punto más bajo de su trayectoria con su velocidad más alta, ¿vale? Y es la gravedad la que actúa sobre el péndulo, la que hace que un péndulo funcione. Entonces, vamos a tener esta parte aquí. Tan, tan, tan, tan tan. Entonces, vamos a simular. Aquí tengo un simulador que he dibujado del péndulo, de este mismo péndulo. Pero acá para que podamos entender, analizar, dibujar, graficar, ¿vale? Este es nuestro péndulo. Vamos a tener en cuenta varias cosas. La primera, el periodo. En la clase anterior vimos que era periodo, recordamos que era periodo. Vimos periodo en un movimiento circular uniforme. También tengo clases de movimiento circular uniforme. Periodo, ¿qué es periodo? Tiempo de un ciclo, tiempo de una oscilación, tiempo de un ir y venir de este péndulo. ¿Cuánto tiempo se demora en dar una oscilación completa en ir y venir? Ese es el periodo. Y la frecuencia, ¿recuerdas qué es frecuencia? Okay, muy bien. El número de oscilaciones por unidad de tiempo. En el sistema internacional de medidas vamos a tener el periodo en segundos y la frecuencia en hertz. Recuerda que los herz sobre segundo o segundo a la men1. Vamos a tener una línea de referencia vertical, que es el punto por donde el péndulo pasa con su mayor velocidad. Vamos a llamarlo punto de equilibrio, ¿vale? Entonces vamos a dibujar este extremo del péndulo. Vamos a poner que tiene longitud L, que va desde el extremo de la cuerda hasta el centro de la masa y vamos a pintar su trayectoria de color verde. Vamos a pintar el otro extremo y el ángulo con respecto a la línea de referencia. vertical, el ángulo teta que he pintado ahí de color verde. Te pregunto, piénsalo, ingénetelas, ingenioso e ingeniosa, ¿qué fuerzas actuarán sobre la masa en este extremo? ¿Qué fuerzas actúan aquí? Muy bien. El peso, recuerda que el peso es la fuerza que le hace la tierra a la masa y vamos a llamarlo peso P. En algunos textos encontrarás peso W por su nombre en inglés. Hoy en esta clase voy a utilizar peso como T. ¿Y qué otra fuerza actuará sobre esta masa? Muy bien, la tensión de la cuerda, esta fuerza, vamos a llamarla fuerza F, fuerza de tensión de la cuerda sobre esta masa en este extremo de ese péndulo. A la masa la vamos a llamar M. Y recuerda que esta masa está en un campo gravitacional, en el campo gravitacional terrestre. Los péndulos funcionan por la gravedad y aquí estamos en la Tierra y vamos a tener en cuenta que G es la aceleración de la gravedad porque la gravedad es una fuerza que empuja ala los cuerpos hacia el centro de la Tierra. Entonces, estamos en un campo gravitacional que vamos a asumir como G. Ahora ubiquemos un sistema de coordenadas cartesianas, un plano cartesiano con ejes de esta forma, así como te los he pintado aquí, xangente a la trayectoria de nuestro péndulo y y en la dirección radial de esta circunferencia X Y perpendicular Y a X Y o I perpendiculares Y aquí sería como el radio de esta circunferencia de aquí hasta acá la longitud L, ¿vale? Tengo este sistema de coordenadas cartesianas. Ten en cuenta que este ángulo teta es este mismo ángulo porque tengo dos rectas paralelas, esta línea de referencia y el peso son paralelas y una transversal. Estos dos ángulos son correspondientes, por lo tanto, son congruentes y yo puedo afirmar que este ángulo teta es este mismo ángulo teta. ¿Qué pasa cuando tenemos un vector, en este caso el vector fuerza peso, fuera de los ejes de coordenadas cartesianas en un plano cartesiano, por lo general lo descomponemos en sus dos componentes rectangulares, una PX y una PY. tengo px y p y aquí se me va a formar este triángulo rectángulo. Y a partir de ese triángulo rectángulo, pongámoslo por acá, tengo, si este triángulo es rectángulo, aquí se me forma este es un ángulo recto, este es un ángulo recto porque esta es paralela a esta y estas dos son perpendiculares. Entonces tengo un triángulo donde P, ¿qué es? Hipotena, ¿y PX? ¿Qué cateto es de el ángulo teta? Cateto opuesto o adyacente? Es el cateto opuesto a teta y Py es el cateto adyacente a teta. Entonces, ¿recuerdas las razones trigonométricas? ¿Cuál sería el seno del ángulo teta en este triángulo? Recuerda, seno es cateto opuesto sobre hipotenusa. ¿Cuál es el cateto opuesto aquí? PX. Y la hipotenusa es P. Por lo tanto, me queda px sobre p. P que está dividiendo pasa a multiplicar si quiero despejar px y esto me da la componente x, esta componente tangente a la trayectoria, que en realidad va a ser la fuerza de restitución de este péndulo, la que va a hacer que esta masa venga para acá, porque Py es al lado para acá, pero es contrarrestado por la fuerza F. está en equilibrio en el eje Y, primera ley de Newton, pero la segunda ley de Newton se aplica tangente a la trayectoria porque solamente hay una fuerza que actúa en la dirección X. ¿Vale? Entonces, ya tengo px. Ah, px es el peso P por el seno del ángulo. Por lo tanto, vamos a poner esta relación por acá. Dejémoslo aquí. Y vámonos a Py. Para P, observa que Py es el cateto adyacente. Recordamos coseno y el coseno del ángulo teta es el cateto adyacente sobre la hipotenusa. Py sobre P. P que está dividiendo pasa a multiplicar. Entonces, Py es P por el coseno de teta. Lo ponemos por acá. Ya tengo cómo calcular las dos componentes PX y PY. Ahora vamos a encontrar la relación para la tensión de la cuerda. Esta fuerza F. Recuerda que ahora te dije que en esta dirección esta masa no se mueve ni para allá ni para acá, por lo tanto está en equilibrio en el eje Y aplicamos la primera ley de Newton. Y la primera ley de Newton te dice que la suma de fuerzas que actúan sobre esta masa en este eje es cero. Suma de fuerzas sobre esta masa en el eje Y son cer0. Primera ley de Newton. Y en el eje Y tengo f positiva al lado positivo del eje Y menos P porque Py está en la dirección negativa del eje Y esto igual a 0 por primera ley de Newton. Py que está restando por transposición de términos pasa a sumar. Por lo tanto, esta fuerza debe ser de la misma magnitud de Py, pero en sentidos contrarios. Y como Py es p coseno teta, ¿y recuerdas a qué es igual el peso? Peso es igual a la masa por la aceleración de la gravedad. Peso es mg. Entonces, peso es mg. Y ya tengo la forma de calcular la tensión de esta cuerda teniendo la masa y el ángulo teta. Tenémoslo por aquí. Y ahora vamos. a hacer una observación especial para que este péndulo tenga un movimiento armónico simple. Vamos a trabajar con ángulos muy pequeños, con este ángulo muy muy pequeño entre 0 y 15º. ¿Por qué? Porque vamos a utilizar una relación matemática para lograr demostrar que en ángulos muy pequeños el movimiento de este péndulo o el movimiento pendular se comporta como un movimiento armónico simple explicado en la clase anterior. Para ángulos muy pequeños, el seno de ese ángulo en radianes medido en radianes debe ser igual al mismo ángulo o aproximadamente igual. Estas dos culebritas, así es aproximadamente igual. Para ángulos muy pequeños entre 0 y 15, el seno del ángulo en radianes es igual al mismo ángulo en radianes. Veamos, veamos, veamos. ¿Cómo así? ¿Cómo así? ¿Cómo así? en radianes. Entonces, seno de pix de radiano. Pi sextos de radiano, ¿cuántos grados son? Recuerda que pi radianes son 180º. 180/ 6 da 30. Estos son 30º. Entonces, el seno de pix de radian es aproximadamente 0.5, pero pix de radián es 0.52 radianes. Entonces, para 0, el seno de 0.52 52 es aproximadamente 0.5. Vamos a acercarnos un poco más a que el seno de ese ángulo sea igual al mismo ángulo. Por lo tanto, trabajemos con uno más pequeño. 0.26 radianes. El seno de 0.26 radianes es aproximadamente igual a 0.26 radianes. Lo mismo el seno del ángulo de 0.1 radianes o 0.10 radianes es 0.1 un radianes. Por lo tanto, para ángulos pequeños de aproximadamente menores a 15º, es decir, entre 0.26 radianes o 0.10 radianes, menores de 0.26 radianes, el seno del ángulo es aproximadamente el ángulo. Pero esto, ¿por qué te lo dije decía ahora? Porque vamos a asumir que este movimiento pendular es un movimiento armónico simple. ¿Cómo te lo demuestro? Vamos a tomar esta relación, este px, que es la fuerza de restitución, la fuerza que hace que esta masa se devuelva en la dirección tangencial x, en la dirección de su trayectoria. Analicemos. El peso es igual a la masa por la aceleración de la gravedad. Dijimos ahora que por esta relación para ángulos pequeños, el seno del ángulo es el mismo ángulo. Entonces esta fuerza de restitución es la masa que permanece constante por la aceleración de la gravedad que es constante por el ángulo que es variable pero es un ángulo pequeño. Entonces tenemos la fuerza de restitución en función del ángulo. Pero el ángulo, vamos a hacer un análisis del ángulo. Pongamos esto por acáur y dibujemos una circunferencia con centro aquí. Y en esa circunferencia tengo su radio. Vamos a recordar elementos geométricos donde tengo un radio, tengo otro radio y se me forma esta porción de circunferencia. Y esta porción de circunferencia tiene un ángulo teta. Y este es el arco que vamos a llamar arco S. ¿Recuerdas qué relación matemática geométrica te articula el arco S, el ángulo teta y el radio R? Muy bien. Que el ángulo es el arco dividido el radio. Que el ángulo es el arco dividido el radio. Cuando tengo una circunferencia de radio uno, el arco mide lo mismo que el ángulo. Tú puedes expresar la medida del arco. ¿Cómo? el ángulo en radianes. Apliquemos esto acá. Aquí tengo una porción de circunferencia y ubiquémosla por acá. Vamos a llamar a este arco, esta trayectoria de mi masa de este péndulo de aquí hasta acá como trayectoria X. Ángulo teta, radio L. Y mira que esto se nos parece. Por lo tanto, el ángulo teta es el arco dividido el radio X sobre L. Dejemos esto por acá. Ya tenemos que aquí este ángulo es este arco dividido esta L. Bueno, profe, pero ¿por qué tanta cosa? Porque es que te voy a demostrar que este movimiento pendular es un movimiento armónico simple para ángulos menores de 15º. Tomemos esta relación. Pongámosla por acá y vamos a sustituir, reemplazar que este ángulo teta es X sobre L. Pongámoslo acá, x sobre L. Y organicemos aquí vamos a hacer una organización conveniente. ¿Qué es variable y qué es constante? Masa constante, ¿sí? La masa no varía en el péndulo. La aceleración de la gravedad constante, ¿sí? No nos hemos llevado en su trayectoria esto para la Luna o para Marte y la longitud del péndulo va a permanecer constante y es variable su trayectoria X. Entonces tenemos la fuerza como función de X. Organicémoslo. Pongamos esto por acá. Y aquí observa que mg sobre L, esta es una constante y es una constante que vamos a poner negativa. ¿Por qué negativa? Porque la dirección de esta fuerza px, una fuerza de restitución es negativa. La el sentido de pxo este eje es negativo, apunta hacia la izquierda. Por lo tanto, podemos afirmar que esta constante es negativa y tengo una fuerza igual a - k * x. Esto, ¿a qué te recuerda? Muy bien. La ley de hook. Esta ley de hook donde la fuerza de restitución es directamente proporcional a la deformación del resorte. Y esto hace que este movimiento sea un movimiento armónico simple, porque esta es la característica fundamental de un movimiento armónico simple. Recuerda que lo expliqué detalladamente en el video de movimiento armónico simple de la clase anterior. Dejemos esta relación por acá y ahora vamos a determinar la relación matemática que me permite calcular el periodo en un péndulo en función de su longitud. Periodo tiempo que se demora esta masa en ir y volver en función de su longitud. ¿Recuerdas el periodo en un resorte? Lo expliqué en la clase anterior. El periodo en un resorte está por acá, traigámoslo. Tu tum. Es 2 pi m sobre k. Hice todo un desarrollo a partir del movimiento circular uniforme. Mira que todo esto está enlazado. Movimiento circular uniforme es base para el movimiento armónico simple y el movimiento armónico simple es base para el movimiento pendular. Entonces, a partir del periodo de un resorte de constante K al que le oscila una masa N, vamos a determinar el periodo en un péndulo. Y la constante K, esta constante es la masa por la aceleración de la gravedad dividido entre L. Vamos a sustituirla aquí. ¿Qué hacemos aquí? Reganizamos esta masa. Le ponemos unito abajo para poder establecer fracción de fracciones y aplicar la ley de extremos y medios. Por lo tanto, vamos a transformar esto en m * ll sobre 1 * mg m * g. Mira que esto se te parece una orejita, entonces muchos la llaman la ley de la oreja. Si aplicamos esta ley de la oreja, pongamos esto por acá. Continuemos. ¿Qué podemos hacer ahí algebraicamente? Muy bien. Cancelar M con m. Chin, chin. Y entonces me va a quedar que el periodo, atención, el periodo para ángulos menores a 15 gr en un movimiento armónico simple se puede calcular como 2 pi raíz de la longitud dividido la aceleración de la gravedad. El péndulo funciona aquí en la tierra depende de la longitud de la cuerda. Mira que aquí se demora en ir y venir. Va y viene, va y viene. Pero si voy acortando la cuerda, mira que a menor longitud, el periodo, el periodo a menor longitud, ¿qué pasa? A menor longitud, el tiempo es menor. Observa de nuevo, de nuevo, eh, va y viene, va y viene. Disminuyamos la longitud. Tu, tu, tu, tú. Mira que el tiempo en ir y volver es menor. A menor longitud, menor periodo. Vale, listo. Y entre más larga sea la cuerda, pues va aumentando el periodo. Aumentemos la cuerda, la longitud y mira. Uh, va bien. Entonces, un péndulo de cuerda larga. La masa se demora en ir y venir. Listo. Periodo en un péndulo. Depende de la longitud y de la aceleración de la gravedad. Pregunto, ¿este péndulo funcionará en la luna? ¿Funciona en la luna? ¿Sí o no? Claro que sí. ¿Por qué? Porque la luna tiene gravedad. Claro. Uno en la luna camina, no navega. Bueno, tampoco puede navegar porque no hay aire. La luna lo que no tiene es atmósfera, pero si tiene gravedad, claro que sí. Si yo suelto esta pelota en la luna, ¿cae? Claro que cae. Pero la gravedad lunar es la sexta parte de la gravedad en la Tierra. Eso ya ha sido explicado en otras clases. Entonces, este péndulo funciona en la luna. Sí. Con el mismo periodo, ¿no? Con la misma longitud, el periodo va a cambiar. Si mantenemos la longitud constante en la Luna, la relación del periodo es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad. Se ve afectada por hecho. ¿Vale? Muy bien. Entonces, dejemos por acá este resumen de relaciones que he determinado en un péndulo donde superior es dos pilas raíz cuadrada de la longitud de la cuerda sobre la aceleración de la gravedad. Y la fuerza de tensión en el péndulo es la masa por la aceleración de la gravedad por el coseno del ángulo. Está en función del ángulo. Apliquémoslo en un problema. ¿Qué dice nuestro problema? Una masa de 2 kg oila suspendida de una cuerda de 30 cm de longitud, masa de 2 kg, cuerda de 30 cm de longitud que forma un ángulo de 10º con la vertical. Calcula el periodo de oscilación. Tiempo en ir y volver, ir y volver, ir y volver. y la tensión de la cuerda en el extremo. Vamos a aplicar estas dos relaciones. Por lo tanto, con el periodo que es 2 pi√ L, pero L es 30 cm. Vamos a trabajar en el sistema internacional de unidades. ¿Por qué? Porque tenemos G y G está en el sistema internacional. 9,8. En el sistema internacional. ¿Recuerdas la equivalencia de centímetros a metros? 30 cm es corremos este punto. Vamos a usar el punto aquí en este problema como indicador decimal. Lo corremos dos lugares uno y 2. Me va a quedar de 0.3 m. La longitud 0.3 m. Y la aceleración de la gravedad vamos a asumirla aproximada de 9.8 m sobre segundo cuadrado. Efectuamos esto en calculadora. Toma tu calculadora, resuelve 2 * pi*ad 0.3/ 9.8 y te va a dar de aproximadamente redondeado a un decimal en 1.1 segundos. Esta masa se demora 1.1 segundos en ir y volver. Ahora dejemos esto por acá y vamos a calcular la tensión, esta fuerza y simplemente sustituimos la masa de 2 kg, la aceleración de la gravedad por 9.8 y el ángulo por 10º. 2 kg, 9.8 m/ segund² coseno de 10º. Efectuamos en calculadora, hazlo tú. 2 * 9.8. Mira que está todo en el sistema internacional de unidades, no hay ningún problema. Por el coseno de 10º no lo tenemos en radianes, pero el coseno de 10º debes tener en cuenta que tu calculadora para este cálculo debe estar en modo degreas, grados, coseno de 10º. ¿Vale? Entonces me da 19.3 redondeado a un decimal Newton. ¿Por qué Newtons? Porque kilogr sobre segundo al cuadrado es Newton, que es la unidad de fuerza en el sistema internacional de unidades. Y terminamos nuestro problema. Ya está. El periodo de oscilación se demora 1.1 segundos en ir y volver. Y esta fuerza de tensión para esta masa de 2 kg es de 19.3 N. Soy el profesor Sergio Llanos, ingeniero mecánico de la Universidad del Valle en Cali, Colombia. Si esta clase te gustó, dale like, suscríbete a mi canal, activa la campanita. Recuerda que las notas de esta clase van a quedar descargables en el enlace que está aquí abajo en la descripción del video. Únete como miembro a mi canal para que puedas apoyar la creación de muchos más videos como este y que tengas un gran día.